屈服小说网

第20章 超难的压轴题（第1页）

齐物看向第一道选择题：

【题目1（选择题）：已知a，b均为n阶实对称正定矩阵，则下列关於矩阵跡（trace）的不等式中，恆成立的是？】

a。tr（（ab）2）≤tr（a2b2）

b。tr（（ab）2）≥tr（a2b2）

c。tr（（ab）2）=tr（a2b2）

d。大小关係与矩阵的具体特徵值分布有关。

有点意思……

考察实对称正定矩阵、矩阵跡、乘积跡不等式，是《线性代数》的进阶內容。

看到矩阵的跡和乘积，很多人的第一反应可能是去凑低阶矩阵的特例来排除选项。

但齐物笔都没动，就选择了a。

“实对称正定矩阵，意味著存在正交矩阵可以將其对角化，並且可以开平方。

所谓求跡，本质上就是求內积空间中的柯西-施瓦茨不等式。”

齐物瞬间完成了代数结构的同构映射。

“令m=a^（12）ba^（12），因为a，b正定，所以m也是对称正定矩阵。

原不等式的左边tr（（ab）2）=tr（abab）=tr（a^（12）ba^（12）a^（12）ba^（12））=tr（m2）。

原不等式的右边tr（a2b2）=tr（ab2a）=……不，更直接一点，將其看作frobenius內积。

根据矩阵的奇异值分解和范数性质，tr（x^ty）≤√tr（x^tx）√tr（y^ty）

代入特徵值基底，很明显，左边必定小於等於右边。”

“选a。”

用时2分30秒。

题目有难度，但是没那么难。

接著是第二题，考点是解析数论中的狄利克雷级数与黎曼zeta函数的零点区域放缩。

齐物快速写下两行阿贝尔求和公式，选出答案。

第三题，考察隨机微分方程（sde）在带跳跃的马尔可夫过程中的伊藤引理应用。

齐物心算了一下漂移项和扩散项的积分，得出结论。

每道题用时都在五分钟之內。

选择题几乎是摧枯拉朽般地被平推过去。

第22分钟，齐物就已经来到了第一道解答题。

【设p为一个奇素数。证明：在有限域fp上的多项式环fp[x]中，多项式f（x）=x^p2-x的所有不可约因子的度数要么是1，要么是2，要么是p。请给出这些因子的確切数量表达式。】